I
Ли́ния (от лат. linea)
геометрическое понятие, точное и в то же время достаточно общее определение которого представляет значительные трудности и осуществляется в различных разделах геометрии различно.
1) В элементарной геометрии рассматриваются прямые Л., отрезки прямых, ломаные Л., составленные из отрезков, и некоторые кривые Л. Каждый вид кривых Л. определяется тем или иным специальным способом (например, окружность определяется как геометрическое место точек, имеющих заданное расстояние R от заданной точки О - центра окружности). Иногда в учебниках дают определение Л. как границы куска поверхности (поверхность определяется при этом как граница тела) или как траектории движущейся точки. Но в рамках элементарной геометрии эти определения не получают отчётливой формулировки.
2) Представление о Л. как траектории движущейся точки может быть сделано вполне строгим при помощи идеи параметрического представления Л. Например, вводя на плоскости прямоугольные координаты (x, у), можно параметрически задать окружность радиуса R с центром в начале координат уравнениями
x = R cos t, y = R sin t.
Когда параметр t пробегает отрезок 0 ≤ t ≤ 2π, точка (х, у) описывает окружность. Вообще, Л. на плоскости задают параметрическими уравнениями вида
x = φ (t), у = ψ(t),
где φ (t), ψ(t) - произвольные функции, непрерывные на каком-нибудь конечном или бесконечном интервале Δ числовой оси t. С каждым значением параметра t (из интервала Δ) уравнения (*) сопоставляют некоторую точку M, координаты которой определяются этими уравнениями. Л., заданная параметрическими уравнениями (*) есть множество точек, соответствующих всевозможным значениям t из Δ, при условии, что эти точки рассматриваются в определенном порядке, именно: если точка M1 соответствует значению параметра t1, а точка M2 - значению t2, то M1 считается предшествующей M2, если t1 < t2 При этом точки, отвечающие различным значениям параметра, всегда считаются различными.
Аналогично, в трёхмерном пространстве Л. задаётся параметрически тремя уравнениями вида
x = φ (t), у = ψ(t), z = χ (t),
где φ (
t)
, ψ(
t)
, χ (
t) - произвольные функции, непрерывные на каком-нибудь интервале. В произвольном топологическом пространстве (См.
Топологическое пространство)
Т (которое, в частности, может быть плоскостью, поверхностью, обычным трёхмерным пространством, функциональным пространством и т. п.) Л. параметрически задают уравнением вида
P = φ (t),
где φ - функция действительного переменного t, непрерывная на каком-либо интервале, значения которой суть точки пространства Т. Считают, что два параметрических представления задают одну и ту же Л., если они определяют один и тот же порядок следования её точек (в смысле, указанном выше).
В анализе и топологии рассматривают обычно случай, когда область изменения параметра t есть отрезок а ≤ t ≤ b. В этом случае условие того, чтобы два параметрических представления
Р = φ (t), a ≤ t ≤ b
P = φ1(t1), a1 ≤ t1 ≤ b1,
изображали одну и ту же Л., заключается в существовании непрерывной и строго возрастающей функции
t1 = f(t),
для которой
f(a) = a1, f(b) = b1, φ (t) = φ1[f(t)].
Такое понимание термина "Л." наиболее естественно в большинстве вопросов анализа (например, в теории криволинейных интегралов) и механики. Так как Л. здесь рассматривается вместе с порядком, в котором пробегает её точки переменная точка М при возрастании t, то при этом естественно возникает вопрос о числе прохождений переменной точки Л. через какую-либо точку пространства. Кроме простых точек, проходимых один раз, Л. может иметь кратные точки, которые проходятся несколько раз (отвечающие различным значениям параметра).
Например, при изменении t в пределах - ∞ < t < ∞ точка с координатами
,
описывает строфоиду (см. рис. "Алгебраические кривые третьего порядка", № 5), попадая в положение х = 0, у = 0 два раза при t = - 1 и t = + 1.
3) Из аналитической геометрии известен и другой способ задания Л. на плоскости уравнением
F(x, y) = 0;
в пространстве - двумя уравнениями
F(x, у, z) = 0, G(x, y, z) = 0.
Ограничиваясь случаем плоскости, укажем лишь, как строится понятие алгебраической Л. (кривой) - Л., определяемой уравнением
F(x, y) = 0,
где
F(
x, у) -
Целая алгебраическая функция, т. е. многочлен како-либо степени
n ≥ 1. В этом случае считают, что два многочлена
F1(
x, у) и
F2(
x, у) определяют одну и ту же алгебраическую Л. в том и только в том случае, когда существует такая постоянная с ≠ 0, что выполняется тождественно соотношение
F1(x, y) = cF2(x, у).
Таким образом, все многочлены, определяющие одну и ту же Л., имеют одну и ту же степень n, называемую порядком соответствующей Л. Например, в аналитической геометрии принято считать, что уравнение
(х - у)2 = 0
определяет Л. второго порядка, а именно, дважды взятую прямую х - у = 0.
В связи с последним примером необходимо заметить, однако, что часто целесообразно ограничиваться рассмотрением неприводимых алгебраических Л., т. е. таких Л., для которых многочлен не допускает представления F = GH, где G и Н - отличные от постоянных многочлены. Далее, в пункте 4, имеется в виду только этот случай.
Говорят, что точка (x0, y0) кривой F(x, у) = 0 имеет кратность m, если разложение F(x, у) по степеням ξ = х - x0, η = у - y0 начинается с членов степени m (по совокупности переменных ξ и η). В случае m = 2, т. е. в случае двойной точки
F(x, у) = а11(х - x0)2 + 2а12(х - x0) (у - y0) + a22(y - y0)2 + ...,
где многоточие означает, что далее следуют члены высших порядков. При помощи дискриминанта
δ = a11a22 - а122
можно определить тип двойной точки (см. Особые точки (См.
Особая точка))
.
4) Часто, особенно при изучении алгебраической Л., целесообразно стать на точку зрения комплексной проективной геометрии, т. е. рассматривать, наряду с точками евклидовой действительной плоскости (или пространства), точки бесконечно удалённые и мнимые. Только при таком подходе (и надлежащем учёте кратности пересечения) становится верным, например, утверждение, что две Л. порядков n и m пересекаются в mn точках. В случае m = 1 это приводит к возможности определить порядок Л. как число n точек её пересечения с прямой.
С проективной точки зрения естественно задавать Л. на плоскости однородным уравнением
F(x1, x2, x3) = 0
между однородными координатами x1, x2, x3 её точек. В силу принципа двойственности с этим заданием равноправно задание Л. уравнением
Φ(ξ1, ξ2, ξ3) = 0,
связывающим однородные координаты прямых, касающихся Л. Таким образом, наряду с порядком Л. (степенью уравнения F = 0) естественно возникает понятие класса Л. - степени уравнения Φ = 0. Класс алгебраических Л. можно также определить как число касательных, которые можно провести к Л. из произвольной точки. О параметрическом представлении Л. см. также Уникурсальные кривые (См.
Уникурсальная кривая)
.
5) Рассмотренные выше (в пунктах 2-4) уточнения и обобщения понятия Л. существенно связаны с соответствующим алгебраическим и аналитическим аппаратом. В отличие от этого, современная
Топология выдвинула задачу уточнения представления о Л. как о множестве точек, независимо от алгебраического или аналитического способов задания этого множества.
Если исходить из параметрического задания Л. в виде непрерывной функции
P = φ (
t), где
t пробегает отрезок
а ≤
t ≤
b, но интересоваться только полученным множеством точек без учёта порядка их следования, то приходят к понятию Л., сформулированному в 80-x гг. 19 в. К.
Жорданом (см.
Жордана кривая)
. Оказывается, что таким непрерывным образом отрезка может быть любой локально связный континуум, в частности квадрат, треугольник, куб и т. п. (см.
Пеано кривая)
. Поэтому теперь обычно предпочитают говорить не о Л. в смысле Жордана, а о локально связных, или жордановых, континуумах. Взаимно однозначный непрерывный образ отрезка называют простой дугой, или жордановой дугой. Взаимно однозначный непрерывный образ окружности называют простой замкнутой Л. Простые дуги и простые замкнутые Л. не исчерпывают, однако, точечных множеств, заслуживающих наименования Л.
Избегая и чрезмерной общности, и чрезмерного сужения понятия Л., в современной топологии пользуются понятием Л., введённым в 1921 П. С.
Урысоном
, который определяет Л. (кривую) как произвольный
Континуум размерности единица. Континуум имеет размерность единица, если при любом ε > 0 он может быть представлен в виде суммы конечного числа замкнутых множеств диаметра, меньшего ε, обладающих тем свойством, что никакие три из этих замкнутых множеств не имеют общей точки (см. также
Размерность в геометрии). Континуум, лежащий на плоскости, будет Л. в смысле Урысона тогда и только тогда, когда он не содержит внутренних точек. Этим свойством характеризовал ранее (70-е гг. 19 в.) Л., лежащие на плоскости, Г.
Кантор. Хотя определение Кантора применимо только к Л., лежащим на плоскости, иногда и общие Л. в смысле Урысона называют "канторовыми кривыми".
Л. Н. Колмогоров.
6) Ещё математики древности изучали
Линии второго порядка (
Эллипс, гиперболу (См.
Гипербола) и параболу (См.
Парабола))
. Ими же был рассмотрен ряд отдельных замечательных алгебраических Л. более высокого порядка, а также некоторые трансцендентные (неалгебраические) Л. Систематическое изучение Л. и их классификация стали возможными с созданием аналитической геометрии (Р.
Декарт)
.
Из Л. третьего порядка наиболее известны:
Декартов лист (см.
рис. "Алгебраические кривые третьего порядка", № 1). уравнение в прямоугольных координатах:
x3 + y3 - 3аху = 0. Впервые кривая определяется в письме Р. Декарта к П. Ферма в 1638. Полная форма кривой с наличием асимптоты, проходящей через точки ( -
а, 0) и (0, -
а), была определена позднее (1692) Х.
Гюйгенсом и И.
Бернулли. Название "декартов лист" установилось в начале 18 в.
Локон Аньези (см. рис. "Алгебраические кривые третьего порядка", № 2). Пусть имеется круг с диаметром OC = -а и отрезок BDM, построенный так, что ОВ : BD = OC : ВМ; геометрическое место точек М представляет собой локон Аньези (или верзиеру). уравнение в прямоугольных координатах: у = a3/(a2 + x2). Исследование этой Л. связано с именем итальянской женщины-математика Марии Аньези (1748).
Кубическая парабола (см. рис. "Алгебраические кривые третьего порядка", № 3). уравнение в прямоугольных координатах: у = x3.
Полукубическая парабола (см. рис. "Алгебраические кривые третьего порядка", № 4), парабола Нейля. уравнение в прямоугольных координатах: у = -сх3/2. Названа по имени английского математика У. Нейля (1657), нашедшего длину её дуги.
Строфоида (от греч. stróphos - кручёная лента и éidos - вид) (см.
рис. "Алгебраические кривые третьего порядка", № 5). Пусть имеется неподвижная прямая АВ и точка С вне её на расстоянии CO =
а; вокруг С вращается прямая, пересекающая АВ в переменной точке N. Если от точки N отложить по обе стороны прямой АВ отрезки NM = NM' = NO, то геометрическое место точек М и М' для всех положений вращающегося луча CN и есть строфоида. Уравнение в прямоугольных координатах:
; в полярных координатах: ρ = -a cos 2φ/cosφ. Впервые строфоиду исследовал Э.
Торричелли (1645), название было введено в середине 19 в.
Циссоида Диоклеса (см. рис. "Алгебраические кривые третьего порядка", № 6) (греч. kissoeides, от kissós - плющ и éidos - вид), геометрическое место точек М, для которых OM = PQ (Р - произвольная точка производящего круга с диаметром а). Уравнение в прямоугольных координатах: y2 = х3/(а - х); в полярных координатах: ρ = asin2 φ/cos φ. Древние греки рассматривали только ту часть циссоиды, которая находится внутри производящего круга. Вместе с дугой окружности эта часть образует фигуру, напоминающую лист плюща (откуда название); наличие бесконечных ветвей было установлено в 17 в. французским математиком Ж. П. Робервалем и независимо от него бельгийским математиком Р. Ф. Слюзом.
Из Л. четвёртого и более высоких порядков наиболее известны:
Кардиоида (от греч. kardía - сердце и éidos - вид) (см. рис. "Алгебраические кривые четвертого и более высоких порядков", № 1), кривая, описываемая какой-либо точкой М окружности радиуса а, катящейся без скольжения по неподвижной окружности того же радиуса. уравнение в прямоугольных координатах: (x2 + y2 - 2ах)2 = 4a(x2 + y2); в полярных координатах: ρ = 2а (1 + cos φ).
Конхоида Никомеда (от греч. konchoeides - похожий на раковину) (см.
рис. "Алгебраические кривые четвертого и более высоких порядков", № 2), кривая, получающаяся при увеличении или уменьшении каждого радиус-вектора точек данной прямой на одну и ту же величину
d, т. о., OM = OP -
d или OM' = OP +
d. Если расстояние от полюса О до данной прямой равно а, то уравнение в прямоугольных координатах: (
х - а)
2(
х2 + y2)
- d2x2 = 0, в полярных координатах: ρ =
a/cosφ ±
d. Впервые рассматривалась древнегреческим геометром Никомедом (около 250-150 до нашей эры), который использовал её для решения задач о трисекции угла (См.
Трисекция угла) и удвоении куба (См.
Удвоение куба)
.
Лемниската Бернулли (см.
рис. "Алгебраические кривые четвертого и более высоких порядков", № 3) (от лат. lemniscatus, буквально - украшенный лентами), кривая, имеющая форму восьмёрки; геометрическое место точек, произведение расстояний которых от фокусов F
1 ( -
а, 0) и F
2 (
а, 0) равно
а2. уравнение в прямоугольных координатах:
(
x2 + y2)
2 - 2a2 (
x2 - y2) =0, в полярных координатах: ρ
2 = 2а
2 cos 2φ. Впервые рассматривалась Я.
Бернулли (1694). Лемниската является частным случаем овалов Кассини и синус-спиралей.
Овалы Декарта (см. рис. "Алгебраические кривые четвертого и более высоких порядков", № 4), геометрические места точек М, расстояния которых от двух фиксированных точек F1 и F2, называемых фокусами, умноженные на данные числа, имеют постоянную сумму с, то есть mMF1 + + nMF2 = с. уравнение в прямоугольных координатах:
(x + y'' -2rx)2 - l2(x2 + y2) - k = 0,
где r, l и k - некоторые постоянные, связанные с параметрами m, n и d; в полярных координатах:
(n2 - m2)(2 + 2((mc - n2d cos () + n2d2 - с2 = 0.
Помимо фокусов F1 и F2, имеется и третий фокус F3, равноправный с каждым из них. При m = 1, n = 1 овал Декарта превращается в эллипс; при m = 1 и n = -1 - в гиперболу. Частным случаем овала является также улитка Паскаля. Овалы впервые исследовались Р. Декартом (1637).
Овалы Кассини (см. рис. "Алгебраические кривые четвертого и более высоких порядков", № 5), геометрические места точек М, произведение расстояний которых от двух данных точек постоянно. Пусть F1 и F2 точки на оси абсцисс, F1F2 = 2b, а произведение MF1․MF2 = а2. уравнение в прямоугольных координатах:
(x2 + y2)2 - 2b2 (a2 - y2) = a4 - b4.
Если
, то овал Кассини - выпуклая кривая; если
b <
a <
, то кривая имеет вид овала с двумя утолщениями; при
а = b овал Кассини превращается в лемнискату, наконец, при
b > а овал Кассини является двусвязной кривой. Впервые рассмотрена Дж.
Кассини (17 в.).
Улитка Паскаля (см. рис. "Алгебраические кривые четвертого и более высоких порядков", № 6), геометрическое место точек М и M', расположенных на прямых пучка (центр которого О лежит на окружности радиуса R) на расстоянии а по обе стороны от точки Р пересечения прямых с окружностью; т. о., PM = PM' = а. уравнение в прямоугольных координатах: (x2 + y2 - 2Rx)2 - а2(х2 + y2) = 0, в полярных координатах: ρ = 2R cos φ + а. При а = 2R петля стягивается в точку, в этом случае улитка Паскаля превращается в кардиоиду. Название по имени французского учёного Э. Паскаля (1588-1651), впервые изучавшего её.
Астроида (от греч. ástron - звезда и éidos - вид) (см. рис. "Алгебраические кривые четвертого и более высоких порядков", № 7), кривая, описываемая точкой подвижной окружности, которая касается изнутри неподвижной окружности вчетверо большего радиуса и катится по ней без скольжения. уравнение в прямоугольных координатах: x2/3 + y2/3 = а2/3, где а - радиус неподвижной окружности. Астроида - линия 6-го порядка.
Розы (см. рис. "Алгебраические кривые четвертого и более высоких порядков", № 8), кривые, полярное уравнение которых: ρ = a sin mφ; если m - рациональное число, то розы - алгебраической Л. чётного порядка. При m нечётном роза состоит из от лепестков, при m чётном - из 2m лепестков; при m рациональном лепестки частично покрывают друг друга.
Синусоидальные спирали, синус-спирали (см. рис. "Алгебраические кривые четвертого и более высоких порядков", № 9), кривые, полярное уравнение которых ρm = am cosmφ; если m - рациональное число, то эти Л. - алгебраические. Частные случаи: m = 1 - окружность, m = - 1 - прямая, m = 2 - лемниската Бернулли, m = -2 - равнобочная гипербола, m = 1/2 - кардиоида, m = - 1/2 - парабола. При целом m > 0 Л. состоит из m лепестков, каждый из которых лежит внутри угла, равного π/m, при рациональном m > 0 лепестки могут частично покрывать друг друга; если m < 0, то Л. состоит из от бесконечных ветвей.
Квадратриса (см.
рис. "Трансцендентные кривые", № 1). Пусть прямая MN равномерно вращается против часовой стрелки вокруг точки О, а прямая А'В' равномерно движется справа налево, оставаясь параллельной OC. Далее, пусть за время движения A'B' от AB до OC прямая MN поворачивается на прямой угол и переходит из положения OA =
r в положение OC. Геометрическое место точек Р пересечения прямых MN и A'B' и есть квадратриса. уравнение в прямоугольных координатах:
; в полярных координатах:
. Часть квадратрисы, заключённая в квадрате OABC, была известна древнегреч. математикам. Открытие квадратрисы приписывается Гиппию Элидскому (5 в. до н. э.), использовавшему её для решения задачи о трисекции угла. Динострат (4 в. до н. э.) с помощью квадратрнсы выполнил квадратуру круга.
Трактриса (см. рис. "Трансцендентные кривые", № 2), кривая, для которой длина отрезка касательной от точки касания М до точки Р пересечения с данной прямой есть величина постоянная, равная а. Уравнение в прямоугольных координатах:
.
Цепная
линия (см.
рис. "Трансцендентные кривые", № 3), кривая, форму которой принимает гибкая однородная и нерастяжимая тяжёлая нить, концы которой закреплены в двух точках. уравнение в прямоугольных координатах:
у = a = а (
ex/a + е-х/a)
/2.
Циклоида (от греч. kykloeides - кругообразный) (см. рис. "Трансцендентные кривые", № 4), кривая, которую описывает точка Р, расположенная на расстоянии а от центра круга радиуса r, катящегося без скольжения по прямой линии. Если Р лежит на окружности круга (r = а), получают обыкновенную циклоиду (см. рис. "Трансцендентные кривые", № 4а), если она лежит внутри круга (r > а), - укороченную циклоиду (см. рис. "Трансцендентные кривые", № 4б), если точка вне круга (r < а), - удлинённую циклоиду (см. рис. "Трансцендентные кривые", № 4в). Две последние Л. называют трохоидами. Уравнение в параметрической форме:
,
.
Среди трансцендентных Л. особый класс составляют спирали (от греч. spéira, буквально - витое), плоские кривые линии, бесчисленное множество раз обходящие некоторую точку, с каждым обходом приближаясь к ней или с каждым обходом удаляясь от неё. Если выбрать эту точку за полюс системы координат, то полярное уравнение спирали ρ = f(φ) таково, что f(φ + 2π) > f(φ) или f(φ + 2π) < f(φ) при всех φ. Из спиралей наиболее известны:
Архимедова спираль (см.
рис. "Трансцендентные кривые", № 5), кривая, описываемая точкой, равномерно движущейся по прямой в то время, как эта прямая равномерно вращается в плоскости вокруг точки О. уравнение в полярных координатах: ρ =
aφ, где а - постоянная. Эта спираль изучалась
Архимедом (3 в. до н. э.) в связи с задачами трисекции угла и квадратуры круга.
Гиперболическая спираль (см. рис. "Трансцендентные кривые", № 6), кривая, описываемая точкой М, движущейся по вращающейся прямой OA, так, что её расстояние от центра вращения меняется обратно пропорционально углу поворота. Уравнение в полярных координатах: ρ = а/φ.
Жезл (см.
рис. "Трансцендентные кривые", № 7), кривая, уравнение которой в полярных координатах:
. Каждому значению φ соответствуют два значения ρ - положительное и отрицательное. Кривая состоит из двух ветвей, каждая из которых асимптотически приближается к полюсу.
Логарифмическая спираль (см. рис. "Трансцендентные кривые", № 8), кривая, уравнение которой в полярных координатах: ρ = аекφ. Была известна многим математикам 17 в.
Спираль Корню (см. рис. "Трансцендентные кривые", № 9), клотоида, кривая, состоящая из двух ветвей, симметричных относительно начала координат. уравнение в параметрической форме:
, y = a
.
Использовалась французским физиком М. А. Корню (1874) для графич. решения некоторых задач дифракции света.
Si-ci-спираль (см. рис. "Трансцендентные кривые", № 10), кривая, параметрическое уравнение которой имеет вид
,
,
К циклоиде по способу построения примыкает класс циклоидальных кривых, которые могут быть как алгебраическими, так и трансцендентными. Среди них:
Гипоциклоида (см. рис. "Циклоидальные кривые", № 1а, 1б), кривая, описываемая точкой окружности, катящейся без скольжения по другой окружности внутри её. Уравнение в параметрической форме:
,
,
где А - радиус неподвижной, а а - подвижной окружности. Вид кривой зависит от отношения А/а.
Эпициклоида (см. рис. "Циклоидальные кривые", № 2а, 2б), кривая, описываемая точкой окружности, катящейся без скольжения по другой окружности вне её. Уравнение получится из уравнения гипоциклоиды заменой а на - а.
Удлинённая гипоциклоида (эпициклоида), кривая, описываемая точкой, лежащей вне окружности, которая катится без скольжения по другой окружности внутри (вне) её (см. рис. "Циклоидальные кривые", № 3а, 4д). Аналогично определяется укороченная гипоциклоида (эпициклоида) (см. рис. "Циклоидальные кривые", № 3б, 4б). Удлинённые и укороченные гипоциклоиды и эпициклоиды иногда называются гипо- и эпитрохоидами.
В. И. Битюцков, Ю. А. Горьков, А. Б. Иванов.
Лит.: Маркушевич А. И., Замечательные кривые, 2 изд., М. - Л., 1952; Савелов А. А., Плоские кривые. Систематика, свойства, применения (Справочное руководство), М., 1960; Пархоменко А. С., Что такое линия, М., 1954; Погорелов А. В., Дифференциальная геометрия, 5 изд., М., 1969; Уокер А., Алгебраические кривые, пер. с англ., М., 1952; Loria G., Spezielle algebraische und transzendente ebene Kurven. Theorie und Geschichte, 2 Aufl., Bd 1-2, Lpz. - B., 1910-11.
Алгебраические кривые третьего порядка: 1 - декартов лист; 2 - локон Аньези; 3 - кубическая парабола; 4 - полукубическая парабола; 5 - строфоида; 6 - циссоида Диоклеса.
Алгебраические кривые четвёртого и более высоких порядков: 1 - кардиоида; 2 - конхоида Никомеда; 3 - лемниската Бернулли: 4 - овалы Декарта; 5 - овалы Кассини; 6 - улитка Паскаля; 7 - астроида; 8 - розы; 9 - синус-спираль.
Трансцендентные кривые: 1 - квадратриса; 2 - трактриса; 3 - цепная линия; 4 - циклоида; 5 - архимедова спираль; 6 - гиперболическая спираль; 7 - жезл; 8 - логарифмическая спираль; 9 - спираль Корню; 10 - si-ci-cпираль.
Циклоидальные кривые: 1 а, б - гипоциклоиды; 2 а, б - эпициклоиды; 3 а - удлинённая гипоциклоида; 3 б - укороченная гипоциклоида; 4а - удлинённая эпициклоида; 4б - укороченная эпициклоида.
II
Ли́ния
в генетике, размножающиеся половым путём родственные организмы, которые происходят, как правило, от одного предка или одной пары общих предков и воспроизводят в ряду поколений одни и те же наследственно устойчивые признаки. Характерные для Л. признаки искусственно поддерживаются путём отбора и близкородственного скрещивания. Различают чистые линии (См.
Чистая линия) - генотипически однородное потомство самоопыляющихся растений, у которых почти все гены находятся в гомозиготном состоянии, и инбредные Л. - потомство перекрёстноопыляющегося растения, полученное путем принудительного самоопыления, или группа животных, полученная при близкородственном разведении (см.
Инбридинг)
. Чем теснее родство родителей, тем выше степень гомозиготности (См.
Гомозиготность) потомства. И в чистых, и в инбредных Л. постоянно возникающие
Мутации нарушают гомозиготность. Поэтому для сохранения гомозиготности по генам, определяющим основные свойства Л., необходимо вести отбор. В животноводстве различают генеалогическую Л., т. е. группу животных, происходящую от общего предка, и заводскую Л. - однородную, качественно своеобразную, поддерживаемую отбором и подбором с использованием инбридинга группу высокопродуктивных животных, происходящую от выдающегося родоначальника и схожую с ним по конституции и продуктивности (см.
Разведение по линиям)
. Чистые и инбредные Л. служат основой для получения высокопродуктивных гибридов в растениеводстве и животноводстве. В медико-биологических исследованиях важную роль играют Л. лабораторных животных (См.
Лабораторные животные)
, сохраняющие константность по определённым признакам.
Лит.: Иогансен В. Л., О наследовании в популяциях и чистых линиях, пер. с нем., М. - Л., 1935; Медведев Н. Н., Практическая генетика, М., 1966.
Ю. С. Демин, Е. Я. Борисенко.